测度论 - Khatru Playground

集类

集合是我们熟悉的概念，但是我们在这部分的内容中还会经常使用到类、空间和域的概念. 这里我暂时不给一个严格的定义，在大致理解这部分内容之后再回来看看. 不过你可以先把类理解成是“更大”的“集合”，而空间是带有一些运算和性质的集合.

我们考虑一个抽象空间 ，在其上定义了并、交、补、差、对称差（）、包含、属于等运算，就像我们常做的那样.

对于的非空类，它可能有一些常见的“封闭性质”：

- algebra

由这些封闭条件，我们引入如下定义：

Def

是的子集的一个非空类，如果它对补和交（并）封闭，则称其为域.
如果单调且对于可数交 / 并封闭，则称其为单调类(M. C.).
如果对于补和可数并（交）封闭，则称其为波莱尔域(B. F.). （或者说-代数？）

对于一个域，它是M. C.等价于它是一个B. F. .

上述命题反向的证明是显然的（事实上波莱尔域天然是单调类），对于充分性，我们只需要有限并封闭 + 单调可数并封闭 可以推出 可数并封闭 即可. 事实上这也是显然的，因为.

由上述命题我们还可以指出，如果是一个域，而是包含它的最小单调类与最小波莱尔域，那么两者相等.

要证明这个命题，我们其实只需要说明类是一个域就可以了（为什么？），也就是验证他对并和补的封闭性.

==？==这里没看懂什么个意思，但是有下面的推论：

**如果是一个域，是包含它的最小波莱尔域，又使包含的具有单调可数并封闭和单调可数交封闭的集类，则包含.

（推论也没明白是个什么意思，还是问一问吧）

假设是子集上的一个波莱尔域，那么满足如下条件的，定义在上的数值集函数（也就是将集合映射到数的函数）就称为概率测度（p. m.）

下面的命题称为连续性公理：

它可以推出单调性. 另外，我们指出：有限可加性 + 连续性公理等价于可数可加性.

我们先证明可数可加性蕴含连续性公理（因为蕴含有限可加性是显然的）.

我们取，则

摆狗钝评：上面的操作就是将一列单调收缩到空集的集合分成了两部分，其中一部分中的集合两两不交，另一部分是原来那一列集合的公共部分（实际是空集）

由可数可加性，我们有（因为公共部分是空集）
因为，所以收敛，而由上式右侧可以知道收敛到0. 这就证明了连续性公理. ？

接下来证明另一个方向. 假设连续性公理和有限可加性成立，我们将得到可数可加性成立.

假设两两不交，我们有：

所以我们希望证明可数可加性，只需要说明即可. 而这个命题是平凡的，因为对于任意的，总有. 换句话说，对于任意元素，我总能找到足够大的，使得此后集合的病不包含这个元素.

此处有一个推论没写

样本空间：我们将三元组称为一个概率空间.

迹：假设，我们定义为在上的迹，它是的波莱尔域. 我们还可以定义定义在的集函数（我也真是服了，这里的公式老是渲染不出来）：

我们称为在上的迹.

这部分以后（也许？）会另外写一篇博客补充.