Probability-Sets

Zhang Zhang Lv1
  2025-02-13 2025-02-13 Created   2025-02-13 11:02:18 2025-02-13 11:02:18 Updated      

集合与集合序列

对集合的操作

对集合序列的操作

首先我们定义了对集合序列的交&并的操作. 接下来我们引入对集合序列极限的定义. 但是由于我水平低，还是先来复习数列的上下极限，并且慢慢引入到集合序列的极限吧.

Def

考虑.
上极限

下极限


如果序列的上下极限相等，我们就说序列的极限存在.

我们理解一下上面的定义. 上极限其实就是在考虑从某一个之后的序列的上确界，随着逐渐增大，此上确界逐渐减小，我们取之下界，就可以得到上极限了. 这样的定义中，由于总是单调递减，所以上（下）极限是一定存在的，从而避免了一般定义下极限可能不存在的情况.

我们再引入到集合序列的极限. 我们可以将集合的包含关系视为一种偏序关系，从而一个集合序列的上确界就是包含这个集合序列的所有集合的最小集合，或者

下确界同理.

由此我们不难引出集合序列的上下极限的定义

Def

考虑，其中.
Infinitely often, 上极限

Ultimately, 下极限

从而同样有极限的定义.

另外，从上下极限的讨论，其实我们也不难看出这个关系：

和数列一样，集合序列也有单调收敛的规律. 而且对集合来说，我们只需要限制单调递增的序列有界就行，因为单调下降的集合序列天然有界.

示性函数

示性函数简单但是重要，比如考虑它的下面这些性质：

假设. 我们有

$$
A = \emptyset ~or~ \Omega \Leftrightarrow I_{A} = 0 ~~~ or ~~~1
$$

示性函数的好处就是将对集合的比较和操作转移到实数上，示性函数在集合操作下的变换如下所示.

Thm

此外还有上极限、下极限，可以尝试自己写一下. 我们接下来举一个例子说明示性函数的作用

Example

考虑所谓的容斥原理

我们现在尝试使用抽屉原理证明这个式子，其实就是证明

我们需要说明左侧等于1可以推右侧等于1，左侧等于0可以推出右侧等于0即可. 等于0的情况是显然的. 如果是等于1，那么就说明该元素属于某些个，比如某个. 所以其实此时右边的式子可以写成是

上面式子为什么成立？我建议你复习高中数学

Semi-algebras, Algebras and -algebras

Semi-Algebras

考虑的子集构成的非空类. 我们称它是一个 semi-algebra 如果

  1. 对有限交封闭
  2. ，则可以表示成中有限个不交的集合的并

Note
  • 性质2并不要求对补集封闭
  • 常见的一个半代数就是上的左开右闭区间
Question

在上述定义下，能不能推出全集和补集在里面？how？
不能，下面会介绍XD

Algebras

考虑的子集构成的非空类，我们称它是一个 algebra 如果

  1. 对于补集封闭
  2. 对于有限并封闭
Note
  • 上述两点性质显然可以推出对于有限交封闭
  • 同样地，我们也可以得到代数对于差封闭，这一点我们在阅读钟书的时候已经见过了. 但是我们还需要指出的一点是，1) 全集属于 和 2) 对于差封闭. 这两条性质其实可以反过来用于代数的定义. 这是因为.

-Algebras

考虑的子集构成的非空类，我们称它是一个 -algebra 如果

  1. 对于补集封闭
  2. 对于可数并封闭
Note
  • 上述定义显然也可以推出对可数交封闭
  • 称为一个可测空间. 中的集合就是可测集

有一些你可能暂时回答不上的问题，但是可以未来思考：

为什么我们为了引入测度，要介绍到 -algebra? 为什么代数和半代数的性质是不足够的？我们又为什么不继续拓展到无穷交并封闭呢？

接下来我们讨论三个代数的性质和关系

首先，按照我们的定义，代数和代数都是包含全集和空集的（首先非空，所以至少有一个集合，，所以包含空集，对补封闭，所以包含全集），但是半代数并不是这样，主要就是因为我们并没有要求半代数对补操作封闭.

接下来是它们的关系. 事实上不难看出，上面的定义就是在逐渐加强的.

下面是一些例子：

Example

是一个半代数，但不是代数. not that hard

一些特殊的-代数：

  • 平凡情况：
  • 幂集
  • 包含的最小-代数：

最后我们讲一点更重要的东西，使用半代数生成代数

代数的生成

Thm

假设是一个半代数，则

是一个代数，也记作

也就是说，对半代数进行有限次的不交并就可以得到一个代数. 如何证明这一点呢？其实唯一需要我们证明的就是对补集封闭这一条性质. 事实上

最右边是补集的有限交，而半代数的集合的补集是可以写成有限不交并的，这些有限不交并显然在里面，又因为对有限交封闭，所以取交集之后仍然在里面，这就说明了对于补的封闭性.

那么我们是否可以使用代数生成-代数呢？其实可以，但是会更加复杂一点，这是下一节的内容

最小生成系

我们现在要讨论如何从一个 class 出发，生成一个最小的 -algebra，从而方便我们后续测度的定义，因为我们的测度就是定义在 -代数上的.

Lemma

-代数列的交（可以无穷）仍然是-代数

证明其实写写定义就行

下面的定理说明了最小生成系的存在唯一性

Thm

对于任意 class ，唯一存在一个包含的最小-代数. 记作.

这里的最小性是如何定义的呢？你可以自己想想你的集合论是怎么学的.

存在性

我们这样说明存在性：首先包含的-代数的集合非空（因为至少有幂集）. 又因为前述引理，对此集合求广义交得到的集合就是所谓最小-代数

唯一性

用定义就行 没那么难.

下面这个定理说的是生成的半代数和生成的-代数之间的关系

Thm

接下来我们引入一个重要的-代数，也就是所谓的 Borel 代数.

我们称（广义）实数轴上的所有开区间生成的最小-代数为 Borel -代数，其中的集合为 Borel sets，为 Borel measurable space.

Note
  • 你的脑子目前能想到的上的集合都是 Borel sets，even the Cantor set
  • 上述定义可以拓展至高维
  • 也可以使用左开右闭或其他的类生成 Borel -algebra

m-class, -class and -class

为什么要引入这些内容？这些概念可以帮助我们考察一个集族是不是-代数.

这里 class 似乎有时候翻译成系，有时候翻译成类，我在这里就统一为类吧

Def

单调类
如果对于所有的单调集合列都成立，我们就说是一个单调类

Def

-类
如果一个类对于有限交（）封闭，也即

我们就称这个类是一个-类

Def

-类
如果一个类非常大（lambda = large），而且对于 proper difference 和 可数递增并封闭（lambda = lim + diff），我们就称这个集合是一个-类，形式化地说就是要满足下列性质：

  2. ，如果，则
  3. 如果且单调递增，那么

不是我说，这个起名挺有意思，之前其实也是，sigma = ，就是对于可数并封闭

他们之间的关系：

-class -class 这是显然的. 单调递减的情况是由于？？？

接下来考虑这些类和 -algebra 之间的关系.

Thm

如果一个类是代数，那么它是单调类等价于它是-代数

从-代数推出单调类是显然的，回忆我们一开始说的，单调集合序列的极限本身就是可以用可数交 / 并表示的

从单调类推出-代数就需要我们用到代数的性质了. 我们应该如何将代数中有限交并封闭推广至可数情形呢？事实上，考虑其实本身就满足单调增的性质，在使用单调类的定义我们就立刻能够推出它是一个-代数了.

需要指出的是单调系不见得是代数. 请你举一个例子吧

Thm

-代数 = -类 + -类

先考虑左推右，显然-代数是-类和-类.

再考虑右推左，首先说明对于补封闭，这是因为：

其次说明对于可数交 / 并封闭，事实上这也是显然的，我不想写了.

和-代数的部分一样，接下来我们考虑如何生成最小的三种类

最小生成类

首先说明存在包含类的上述三种特殊类，这当然是显然的，因为我们至少有幂集.

接下来就要说明存在包含类的最小的上述三种特殊类，我们需要用到和-代数部分几乎类似的引理，此处也不多赘述了.

最后就是要说明这些最小生成类的唯一性了. 我猜也没那么难，还是不看了.

下面是关系的一个总结

三个类的关系

图上缺了一个 algebra + m-class = -algebra

Monotone Class Theorem(MCT)

上来就是一个重量级定理

Thm

对于代数，我们有

  2. 如果是m类并且，那么
  1. 的证明

首先证明. 这是因为-代数本身就是一个m-类，而生成的m-类又是最小的. 接下来证明. 这事实上只需要证明是一个-代数就可以了. 又根据之前的关系，其实我们只需要证明是一个代数，也就是证明对补和有限并封闭. 这件事情没有那么显然，我们接下来详细讨论.

我们应该如何说明集合对于补和有限交都封闭呢？其实我们可以“找到其中封闭的那一部分”，然后再说明本身包含于它们（从而等于他们），这样说明其对补和有限交封闭. 具体来说，我们定义：

（对有限交封闭的部分）（对补封闭的部分）

然后我们说明且就可以了. 但是为了说明这件事，我们还要引入一个集合：

我们首先来说明同时包含于上面三个类. 不过首先，我们先观察（？）出来上面三个类都是单调类.

  • 对于：

考虑单增的，单增且属于单调类. 从而

这就得到

从而 (by definition).

  • 对于

和上述证明几乎一样

  • 对于

考虑单增的，我们希望证明的是

也就是


前者根据是单调类可以说明，后者用一下 De’Morgan 也可以说明.

有这样的单调类的结论之后，我们尝试说明一开始要证明的结论

显然（这是能显然出来的？我们还是来讨论一下）

对于任意的，显然有，而且对任意的，有从而，从而（这还不显然吗？你真是够可怜的）

有了，而又是单调类，那么显然. 从而.

仿照方面的思路，我们同样只需要说明 就行. 考虑任意的和. 我们有. 这就说明（By definition!）. 从而结论得证.

我们还是说明. 对任意的，有，从而且. 得证

Summary

我们为了证明，重点在于左包含于右，这要求我们证明是一个-代数，从而要求我们证明是一个代数. 为了证明这一点，我们构造了和表示中对补和有限交封闭的部分，并且尝试证明他们和是相等的. 为了说明这一点，我们希望证明它们是包含的单调类. 最后这里的证明就是 by definition 了.

  1. 是自然推论，显然的.

我们再来回顾一下上面这个定理. 它告诉我们，对于代数，生成的m类就是-代数. 回想之前的几个类的关系，我们其实除了代数 + m = 以外其实还有 . 下面这个定理要说的就是这件事情:

Thm

假设是一个-class，我们有：

  2. 如果是一个-类，且，那么

还是值考虑1. ，而且其中真正困难的其实还是. 要证明这件事情，我们要说是一个-代数，这只需要我们说明它是一个-类就可以了. 方法是类似的，我这里先跳一下吧. 我们跑步进入MCT.

Thm

单调类定理
是上的两个类

  1. 如果是类而且是一个-类，那么.
  2. 如果是代数而且是一个m-类，那么.

这其实就是前述定理的2.

接下来讨论 MCT 的用处. 其实可以从性质扩张上来说. 有时候我们想将拥有的性质扩张在上，这时候我们就可以找到一个满足的类，并且按照上面的方法尝试说明.

Poem

有诗赞曰：
其一
交并溯本源，闭阖隐真言。
若解九章律，江河自倒悬。
其二
叠浪吞前浪，退潮见旧痕。
但存自循环，万象藏空轮。

Product Spaces

考虑一系列可测空间（什么事可测空间？）. 我们定义：

  1. n-dim rectangles of the product space of

如果还在-代数里，那么我们就说这些矩形为可测矩形.

  1. n-dim product -algebra

  1. n-dim product measurable space

Lemma

可测矩形的交集是可测矩形. 或者说所有可测矩形组成的类是一个-类

Lemma

有限个、不交的、可测矩形的并组成的集类（不妨记作）是一个代数，而且是所有指定空间的可测矩形生成的代数

这个证明会有点费解，let’s dive in

我们记是所有可测矩形的并集（它显然是-类），我们要证明

我们分下面几步：

  1. 是一个-类.

事实上

括号里面，可测矩形的交还是可测矩形，你只需要说明这些可测矩形其实是不交的（why?），就可以说明其实在里面了（by definition）

2. 对于补是封闭的

我们首先要想一想一个可测矩形的补长什么样子：

因为乘积空间的全集

所以

比较一下上面的式子，可以看到可测矩形的补集是可测矩形的不交（？）并. 不妨记作

所以我们来看看对补为什么封闭

从而完成了证明.

我们已经证明了是一个代数，从而. 同时又因为有限个不交的可测矩形的并属于（这是因为可测矩形本身在从而在中，再由对有限并的封闭性就可以得到这个结论了）

从而我们有， this completes our proof and this note.

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Probability-Sets
  1. 集合与集合序列
  2. 对集合的操作
  3. 对集合序列的操作
  4. 示性函数
  5. Semi-algebras, Algebras and -algebras
    1. 代数的生成
  6. 最小生成系
  7. m-class, -class and -class
    1. 最小生成类
  8. Monotone Class Theorem(MCT)
  9. Product Spaces