Random Math Note 04-14

## 二元正态分布 > [!def] > iff > > 或者考虑矩阵形式： > 为了下面讨论的方便，我们可以对上面的分布进行配方： ### 性质 **二维正态分布的边缘分布是一维正态分布** **二维正态分布的条件分布 从而也有和: 从这里看出来：*对于高斯分布来说，最佳预测就是线性预测！* > [!review] > **最佳线性预测** > 最佳线性预测： > > 而且其中 对比上面的式子，我们可以很轻松地写出二维高斯条件分布的协方差： 所以： **二维正态分布的标准化** 并且称最后的分布为“二元标准正态分布”. **相关系数** 考虑 这里注意，以及. 看这里 -> [[14#^114514|正态分布的矩]] 所以，也就是说二维高斯分布的参数是相关系数. > [!question] > > ？ **不相关 iff 独立** 证明是容易的，如果等于零，表示可以分离变量. > [!review] > 对于Gaussian和两点分布，独立iff相关 **正态分布的线性变换** > [!question] > 请问两个正态分布的线性组合是否仍然是正态？ > 不一定！但是独立的高斯分布的线性组合确实是正态分布！而且均值是两者均值的和，方差是两者方差的和. 之前在这里见过：[[DiffusionModel]] > **二维正态分布的向量形式** 其中协方差矩阵. 这个定义可以推广到高维形式. > [!question] > 两个服从正态分布的随机变量，请问服从正态吗？显然对于独立是成立的，对于不相关却不成立？ --- ## 连续型随机变量的函数的分布 LOTUS定理可以帮助我们计算在一个函数变换下随机变量的期望，这里我们考虑其分布，也就是： **下面这个例子说明连续型随机变量的函数不一定是连续的** > [!example] > 考虑取 > > 不难写出分布函数： > > 请注意，这既不是一个连续型也不是离散型随机变量，在2处有一个跳跃间断点，这个分布没有密度函数. 这样的例子是很好想的，不过我们接下来考虑比较简单的情况：而且***是一个连续型的随机变量.*** 我们主要介绍两种方法：原理法和公式法. ### 一维情况 **原理法：** > [!review] > **复习一下你忘得差不多的微积分** > 变上下限积分求导： > > 更一般地： > > [!example] > > 请问的分布. > 先考虑分布函数： > > 计算密度函数： > --- **公式法：** 我们考虑是一个严格单调的函数（有反函数），那么我们有： 因为有可能单调递增，有可能单调递减，所以上面式子的最后一部分有一个绝对值. 现在考虑如果并不满足严格单调呢？此时没有唯一的反函数，反函数有多个，此时仍然可以使用公示法，结论为： > [!example] > 考虑 > > 1. 请问的分布？ > > 因为，. 所以. 因此 > > ***注意这里是+1，想想为什么，第一次写错了*** > > 2. 的分布是什么？ > 可以证明，其中，这个东西叫做Cauchy分布，它没有期望. 参见[[13#^f42e59]] > [!example] > **分段严格单调的情况** > 考虑 > > 请问服从什么分布 > > 这里反函数不止一个，所以需要将两个都带进去： > > ### 二维情况 考虑二维情况（当然同样要求变换后还是连续型随机变量）： 二维情况同样有原理法和公式法，这里简单写一下： **原理法** > [!example] > 这里举了以前那个例子，懒得写了. **公式法** 公式法需要使用Jacobian行列式. 结论如下： 考虑. 如果有映射 存在唯一的逆映射： 我们有： 同理，如果反函数不唯一，有： > [!note] > 完蛋，微积分忘光了.